Внешняя баллистика сферической дробинки

В статье «Гладкоствольное ружье против дрона. Часть 2» было рассмотрено движение сферической дробинки с учетом сопротивления воздуха после выстрела из гладкоствольного ружья. Задача решалась путем численного интегрирования системы уравнений

где
m – масса дробинки;
CD – коэффициент аэродинамического сопротивления сферической дробинки;
ρ – плотность воздуха (ρ = 1.225 кг/м3);
А – площадь поперечного сечения дробинки;
Vx , Vy – проекции вектора скорости на оси координат;
g – ускорение свободного падения.
Расчет проводился в предположении, что коэффициент аэродинамического сопротивления сферической дробинки имеет постоянное значение CD = 0,5.

В интернете можно найти таблицу 1, в которой представлены скорости сферической дробинки в зависимости от расстояния при начальной скорости дробинки (скорость на дульном срезе ствола) — 375 м/с.
Таблица 1

При сравнении результатов расчетов с данными таблицы 1 было установлено, что расчетные значения превосходят значения скорости, представленные в таблице 1.  Это объясняется тем, что коэффициент аэродинамического сопротивления не является постоянной величиной, а зависит от скорости дробинки. При этом коэффициент аэродинамического сопротивления тем больше, чем ближе скорость дробинки к скорости звука (340 м/с).

В данной статье уточняется расчет внешней баллистики сферической дробинки за счет использования экспериментальных значений коэффициента CD. Экспериментальные значения CD заимствованы из статьи Фарапонов В. В. и др. «Расчет аэродинамического коэффициента лобового сопротивления тела в дозвуковых и трансзвуковых режимах движения с помощью пакета ANSYS Fluent». В статье Фарапонова В. В. приводится график, представленный на рис. 1. На этом графике нанесены экспериментальные точки, соответствующие коэффициенту аэродинамического сопротивления для сферического тела. По оси абсцисс на графике отложены значения M (число Маха), а по оси ординат отложены значения аэродинамического коэффициента.

Рис. 1. Экспериментальные точки для коэффициента аэродинамического сопротивления сферического тела

Используем этот график для уточненного расчета внешней баллистики сферической дробинки. Для этого оцифруем все экспериментальные точки на графике и соединим их ломаной линией, как показано на рис. 2. Поскольку при небольших скоростях движения сферической дробинки (при ламинарном режиме обтекания) коэффициент аэродинамического сопротивления сохраняет постоянное значение, равное примерно 0,47, то начальная часть графика на рис. 2 аппроксимирована горизонтальной линией.

Рис. 2. Оцифровка экспериментальных точек

Перенесем полученную на графике рис. 2 ломаную кривую в Excel  и аппроксимируем её полиномом 4-ой степени, как показано на рис. 3.

Рис. 3. Аппрокстация экспериментальных точек линией тренда

Полученная линия тренда имеет показатель достоверности аппроксимации R2 = 0,9884. Это очень высокий показатель (почти 0,99), так как максимальное значение показателя равно 1. Используя полученную линию тренда можно записать следующую аналитическую зависимость для коэффициента аэродинамического сопротивления CD в зависимости от числа M:

Экспериментальные данные в статье Фарапонова В. В. приведены для значений M, заканчивающихся при M = 1, что соответствует начальной скорости дробинок — 340 м/с. Но при выстреле из гладкоствольного ружья можно получить начальную скорость дробинок больше 340 м/с. В этих случаях поведение CD качественно описывается следующим образом. При значениях числа M = 1,1…1,2 коэффициент CD достигает максимального значения и при дальнейшем увеличении M начинает медленно снижаться.

Поскольку нет точных количественных данных о поведении CD при скоростях больше скорости звука, то в соответствии с качественными соображениями будем считать, что до M = 1,15 значения CD продолжают возрастать согласно формуле (1), а далее до M = 1,4 остаются постоянными. Применение постоянного значения CD после достижения максимального значения оправдано тем, что вследствие медленного снижения CD , для небольшого участка значений от M = 1,5 до M = 1,4 изменение CD будет невелико.

Тогда для описания CD получаем кусочную зависимость (2), которая с достаточной для практических применений точностью описывает движение сферических дробинок при выстреле из гладкоствольного ружья и охватывает весь возможный диапазон скоростей дробинок для типовых пороховых навесок, используемых в патронах 12 калибра.

Сравнение данных таблицы 1 и результатов расчетов с использованием формулы (2) показано на рис. 4.

Рис. 4. Сравнение расчета с данными табл. 1

На этом рисунке приведены графики скорости дробинок диаметром 8, 5 и 3 мм (кривые 1, 3, 5 соответственно), построенные по данным таблицы 1. Эти кривые отмечены нанесенными на них кружочками. Кривые 2, 4, 6 соответствуют расчетным данным с использованием формулы (2) для аналогичных значений диаметра дробинок 8, 5 и 3 мм.

Сравнение кривых для дробинок диаметром 8 мм (кривые 1 и 2), диаметром 5 мм (кривые 3 и 4) и диаметром 3 мм (кривые 5 и 6) указывает на хорошее совпадение данных таблицы 1 с результатами расчетов. Так, например, на заключительном этапе полета дробинок различие в скоростях не превышает 1…3 процентов.

Заключение

Для расчета внешней баллистики дроби при выстреле из гладкоствольного ружья с достаточной для практических целей точностью можно пользоваться формулой (2), описывающей значения аэродинамического коэффициента сферической дробинки CD на траектории. Формула (2) применима при различных начальных скоростях дробинок, получаемых для типовых пороховых навесок при выстреле из гладкоствольного ружья 12 калибра.

Расчет внутренней баллистики дробового снаряда изложен в этой статье: Внутренняя баллистика выстрела из гладкоствольного ружья