Будем рассматривать синусоидальные напряжения и токи. В отличие от постоянных значений напряжения и тока, которые обозначаются заглавными буквами, переменные значения напряжения и тока обозначаются строчными буквами. Основные характеристики цепей синусоидального тока:
мгновенное значение напряжения
u(t) = Um sin(ωt + Ψu)
мгновенное значение тока
i(t) = Im sin(ωt + Ψi )
Um – амплитудное значение напряжения;
Im – амплитудное значение тока;
ω = 2πf-круговая частота; f = 1/T; T-период;
Ψu, Ψi – начальные фазы напряжения и тока;
Заменим мгновенные значения напряжения и тока комплексными величинами. Метод расчета цепей синусоидального тока, в котором мгновенные значения тока и напряжения заменяются комплексными величинами, называется символическим методом расчета. Преимущество символического метода заключается в том, что из уравнений, описывающих электрическую цепь синусоидального тока, исключается параметр времени, и расчет цепей переменного тока становится аналогичным расчету цепей постоянного тока.
Чтобы отличить комплексное напряжение и комплексный ток, будем ставить сверху над этими величинами точку. Точка над комплексным сопротивлением не ставится, так как комплексное сопротивление не принадлежит к типу периодических функций. Вместо точки сверху, комплексное сопротивление подчеркивается снизу.
Цепь имеет следующие параметры:
Источник синусоидального напряжения: амплитуда Um = 1 В, частота f = 200 Гц, начальные фазы напряжения и тока равны 0° (Ψu = Ψi = 0);
R1 = 5 Ом; R2 = 10 Ом; L = 10 мГн = 0.01 Гн; С = 100 мкФ = 0.0001 Ф.
Найти:
– токи: I; I1; I2;
– выходное напряжение Uout (напряжение на резисторе R2)
В таблице 2 приведены формулы для расчета электрической цепи, показанной на рис. 1.
Формулы в таблице 2 записаны с использованием закона Ома и с использованием правил вычисления сопротивлений при последовательном и параллельном соединении.
Запрограммируем в Python зависимости (1) … (12).
Листинг программы имеет вид:
Программа выводит на печать результаты:
IT= 0.03+0.03j
IT1= 0.01-0.03j
UT2= 0.02+0.07j
UTout= 0.12-0.33j
I= 0.049
I1= 0.035
I2= 0.071
Uout= 0.351
Проверяем первый закон Кирхгофа для комплексных токов: сумма действительных частей комплексов входящих токов должна быть равна сумме действительных частей комплексов выходящих токов и, соответственно, сумма мнимых частей комплексов входящих токов должна быть равна сумме мнимых частей комплексов выходящих токов,
0.03 – (0.01+0.02) = 0 для действительных частей;
0.03 – (–0.03+0.07) = – 0.01 для мнимых частей.
С точностью до ошибок округления первый закон Кирхгофа для комплексных токов выполняется.
Итак, в результате решения получены следующие значения токов и напряжений:
I = 0,049 А – полное действующее значение тока;
I1 = 0,035 А – действующее значение тока в индуктивной ветви;
I2 = 0,071 А – действующее значение тока в емкостной ветви;
Uout = 0,351 В – выходное напряжение цепи.